铲雪车，铲雪车除雪模型

时间：2023-04-14 22:13:00编辑：揭秘君

高数铲雪车建模

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除雪机模型
在我国的北方，冬天常会突降大雪。路上如堆满了雪，便要影响交通，需要用除雪机来清扫。现有一条10公里的长街，每当路面平均积雪0.5米时，就需除雪机清扫。在开始除雪时，往往天空仍在下雪。这样雪的厚度慢慢增加，除雪机工作的速度慢慢下降，以至无法工作了。
问除雪机能否完成这10公里长路程的除雪任务呢？
假设以下的几个条件是我们已知的：
（1）在除雪机开始扫雪后，总共下了一个小时的雪；
（2）下雪的速度是可变的，但下得最大时地面上雪的厚度增加量为每秒0.1厘米；
（3）当雪的厚度达到1.5米时，除雪机将无法工作；
（4）在没有雪的路面上除雪机的行驶速度为每秒10米。
分析容易看出，雪下的大小直接影响除雪机的工作程度。为简单计，假定除雪机工作速度V的减少与积雪厚度成正比。于是由假设条件（3）、（4）可得如下的公式：
设，当时，，又，所以，
故，即（4.1-1）
其中速度V的单位是米/秒，雪的厚度的单位是米，且。
由初始条件米，可以马上求得除雪机开始清扫的速度米。
下面我们根据假设除雪机开始时下雪速度是常量还是变量这两种情况来分别建立模型。
模型I
假设下雪速度保持不变，记做（厘米/秒）。到秒末雪的厚度就要增加厘米= 米。于是秒末雪的厚度变成
（米）（4.1-2）
由（4.1-1）、（4.1-2）可得（4.1-3）
这时除雪机行驶的距离S为
= （4.1-4）
当V=0时意味着除雪机停止工作，由（4.1-3）可求得
（4.1-5）
现在，让我们把一些具体的下雪速度代入模型，看一看除雪机的工作情况。
情形A
假设以每秒0.1厘米的速度（即厘米/秒）持续下了一个小时的大雪，则用（4.1-5）式可以算出，除雪机在清扫了16分40秒（秒=16分40秒）后被迫停止了工作。再由（4.1-40式可以知道，此时除雪机已行驶了3.33公里（
米公里），即除雪机在停止扫雪前已沿街道行了三分之一的路程，但没有完成整条大街（10公里）的扫雪任务。
情形B
假设下的一场小雪，速度仅是厘米/秒，则用与情形A相同的公式可以算出，除雪机在经过了1小时6分40秒后会停下来，此时除雪机运行的距离应为13.33公里，这比要求除雪的10公里还要长！除雪机早已完成了任务。事实上，实际除雪的时间为33分20秒（将S=10×1000米，代入（4.1-4）式求得），在清除完10公里长的积雪后，除雪机的速度变为3.33米/秒（将有关数据代入（4.1-3）式算得）。
模型Ⅱ
假设下雪速度不是常量，它在前30分钟稳步增加到最大值0.1厘米/秒，然后在后30分钟逐渐减少到0，如图4-1所示。
用表示下雪速度，则
这里的单位是厘米/秒。
对积分，可以得到雪的厚度，即
当分时，有
（米）（4.1-7）
特别地，当分时，由上式容易算出雪的厚度为1.4米（计算时，将分化为秒）。
当分时，
（4.1-8）
特别地，当T=60分时，由（4.1-8）式求得米，说明一小时之后雪的厚度将达到2.3米深。
再返回（4.1-1）式，可以求得除雪机的工作速度为
（4.1-9）
对积分，可得除雪机行驶的路程，即
（4.1-10）
令，得S=8400米。这说明，30分钟后，除雪机已经前进了8.4公里，此时雪的厚度为1.4米。所以除雪机继续进行，但不能进行很久了（因为1.5米深的雪将使除雪机停止前进）。
将V=0代入（4.1-9）中的第二式，有
（4.1-11）
解得秒，也就是说，再过103秒除雪机将停止工作，此时除雪机又向前推进了34米（将代入（4.1-10）中的第二式再减去8400得到）。而方程（4.1-11）的另一根秒舍去）。