罗素悖论与理发师悖论
理发师理发的人
【罗素悖论定义】
把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）
问，Q∈P 还是 Q∈Q？
这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。
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9世纪末，德国著名数学家康托建立了集合论。他企图从最普遍的概念出发来建立数学和逻辑大厦。康托提出，我们总可以根据事物的某一属性或规定性来定义一个集合。此外，还可以用另一种方法建立集合，我们只要给出一个个具体元素，总可以把这些元素的全体定义为一个集合。
数学家们发现，只要规定了集合和组成它的元素，我们就能从集合论角度统一地说明数学和逻辑推理的基础。比如根据集合的包含关系就能推出形式逻辑基本格式三段论。一些数学家曾满心喜悦地认为，数学和逻辑的基础终于找到了。它们之所以合理，是因为它们反映了世界事物间最为普遍的关系:元素和作为这些元素总和的集合之间的从属关系以及它们组合的结构。
然而，1903年罗素提出了一个著名的悖论:“我们令N为一切不属于自身的集合组成的集合，问N是否属于N？”根据上面的定义：N属于N，当且仅当N不属于N时”，这里出现了悖论。罗素悖论的前提正好是从集合论的最基本出发点推出的，而这个结论又与集合论矛盾。罗素悖论的发现震撼了集合论的基础。
后来，罗素将这个数学悖论变成等价的“理发师悖论”，即某山村的一个理发师声称:“他将给所有不给自己刮脸的人刮脸，不给那些给自己刮脸的人刮 脸。”
这在逻辑上并没有漏洞。但是当他考虑是否应该给自己刮脸时，却处于自相矛盾的两难之中。因为如果他不给自己刮脸，那么他将属于自己声明不给自己刮脸的那一类人，因此他可以给自己刮脸。反之，如果他给自己刮脸，那么他不属于自己声明的要让他来刮脸的那一类人，他将不能给自己刮脸。
由于逻辑学家们对逻辑力量的偏信，他们大都不愿意承认逻辑的局限性和弱点。一位名叫奎因的著名逻辑学家面对理发师悖论，经过“仔细推敲”，在《科学美国人》杂志上发表了题为《自相矛盾》的文章， “解答”了这个问题。他沾沾自喜地为我们提供了这样 的“答案”:这个村子根本不存在!啊，真是妙不可言的不承认主义。
现代数学已经指明:逻辑悖论的一个重要根源是在推理和定义过程中存在互为前提的循环圈，即排除不了自我相关的怪圈。为了建立严密而有效的逻辑思维大厦，必须把悖论从推理过程中排除出去。数学家突然发现，如果彻底消除悖论，那么由此构成的数学大厦就此失去了生动活泼的生命力，逻辑思维也就成了一个僵死而笨拙的体系。正如把逻辑之羊用笼子装起来，虽免受了悖论之狼的伤害，但羊群却不能在人类思维那广阔无垠的草原上自由地放牧了。
正如数学家哥德尔所说的那样，由于自我相关造成的悖论存在，人们面临着二者择一的两难境地:要 么在逻辑思维中可以是不一致的;要么导致产生另一个意想不到的结果。我们无法用逻辑去证明所有用逻辑提出的问题。
理发师的悖论
理发师悖论是由一个广告延伸出的，有一个非常有趣的故事!有一位理发师在广告上声称：“将为本城所有不给自己刮胡子的人刮胡子，我也只给这些人刮胡子。”但有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，那他能不能给他自己刮胡子呢?
要是他不给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，他就要给自己刮胡子!但是如果他给自己刮胡子之后，他又属于“给自己刮胡子的人”，这个时候他就又不该给自己刮胡子了。这刮胡子也违背了自己说过的话，不刮胡子也是违背了自己的话，换成是你，你会怎么做?
理发师悖论由英国著名数学家罗素在1903年提出来的，这个悖论使人们充分意识到：由康托尔建立的朴素集合论存在致命的漏洞需要修补。由此引发了数学史上著名的“第三次数学危机”。
这个悖论的问题就出在怎样定位“不给自己刮脸的人”的标准是什么，下面奇闻君就来为大家分析一下，1：如果村里的任一村民x，这个人从出生到死亡都从来没有自己给自己刮过脸，即一生中都没有“自己给自己刮脸”，那么，x就是广告中“不给自己刮脸的人”。
2：另一种解释，如果村里的任一村民x，他在接受该理发师刮脸服务之前从无自己给自己刮过脸，即在接受该理发师刮脸服务之前没有“自己给自己刮脸”，那么，x是“不给自己刮脸的人”。
很明显，1这种是不太不可能的，因为这个标准也不是说一辈子没挂过脸的人才是“不给自己刮脸的人”，毕竟理发师也不是给死人刮脸的。唯一合理的就是第2种了。而和这样讲来理发师或者符合他制定的规则，或者不符合，二者必居其一，不存在悖论之说。“理发师悖论”是罗素的一个败笔和浑着，是与罗素悖论毫无类似之处的。罗素悖论是深刻的，属于无穷引起的悖论，与芝诺悖论相似，而“理发师悖论”什么也不是。
